# Leetcode 题解 - 二分查找
正常实现
Input : [1,2,3,4,5]
key : 3
return the index : 2
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] == key) {
return m;
} else if (nums[m] > key) {
h = m - 1;
} else {
l = m + 1;
}
}
return -1;
}
时间复杂度
二分查找也称为折半查找,每次都能将查找区间减半,这种折半特性的算法时间复杂度为 O(logN)。
m 计算
有两种计算中值 m 的方式:
- m = (l + h) / 2
- m = l + (h - l) / 2
l + h 可能出现加法溢出,也就是说加法的结果大于整型能够表示的范围。但是 l 和 h 都为正数,因此 h - l 不会出现加法溢出问题。所以,最好使用第二种计算法方法。
未成功查找的返回值
循环退出时如果仍然没有查找到 key,那么表示查找失败。可以有两种返回值:
- -1:以一个错误码表示没有查找到 key
- l:将 key 插入到 nums 中的正确位置
变种
二分查找可以有很多变种,实现变种要注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下:
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= key) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
该实现和正常实现有以下不同:
- h 的赋值表达式为 h = m
- 循环条件为 l < h
- 最后返回 l 而不是 -1
在 nums[m] >= key 的情况下,可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中,这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m,因为 m 位置也可能是解。
在 h 的赋值表达式为 h = m 的情况下,如果循环条件为 l <= h,那么会出现循环无法退出的情况,因此循环条件只能是 l < h。以下演示了循环条件为 l <= h 时循环无法退出的情况:
nums = {0, 1, 2}, key = 1
l m h
0 1 2 nums[m] >= key
0 0 1 nums[m] < key
1 1 1 nums[m] >= key
1 1 1 nums[m] >= key
...
当循环体退出时,不表示没有查找到 key,因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到,需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。
# 1. 求开方
69. Sqrt(x) (Easy)
Leetcode (opens new window) / 力扣 (opens new window)
Input: 4
Output: 2
Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.
一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 ~ x 之间,并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 ~ x 之间查找 sqrt。
对于 x = 8,它的开方是 2.82842...,最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时,h 总是比 l 小 1,也就是说 h = 2,l = 3,因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) {
return x;
}
int l = 1, h = x;
while (l <= h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
int sqrt = x / mid;
if (sqrt == mid) {
return mid;
} else if (mid > sqrt) {
h = mid - 1;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return h;
}
# 2. 大于给定元素的最小元素
744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)
Leetcode (opens new window) / 力扣 (opens new window)
Input:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "d"
Output: "f"
Input:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "k"
Output: "c"
题目描述:给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target,要求找出 letters 中大于 target 的最小字符,如果找不到就返回第 1 个字符。
public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
int n = letters.length;
int l = 0, h = n - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (letters[m] <= target) {
l = m + 1;
} else {
h = m - 1;
}
}
return l < n ? letters[l] : letters[0];
}
# 3. 有序数组的 Single Element
540. Single Element in a Sorted Array (Medium)
Leetcode (opens new window) / 力扣 (opens new window)
Input: [1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 8, 8]
Output: 2
题目描述:一个有序数组只有一个数不出现两次,找出这个数。
要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解,因此不能遍历数组并进行异或操作来求解,这么做的时间复杂度为 O(N)。
令 index 为 Single Element 在数组中的位置。在 index 之后,数组中原来存在的成对状态被改变。如果 m 为偶数,并且 m + 1 < index,那么 nums[m] == nums[m + 1];m + 1 >= index,那么 nums[m] != nums[m + 1]。
从上面的规律可以知道,如果 nums[m] == nums[m + 1],那么 index 所在的数组位置为 [m + 2, h],此时令 l = m + 2;如果 nums[m] != nums[m + 1],那么 index 所在的数组位置为 [l, m],此时令 h = m。
因为 h 的赋值表达式为 h = m,那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (m % 2 == 1) {
m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位,使得查找区间大小一直都是奇数
}
if (nums[m] == nums[m + 1]) {
l = m + 2;
} else {
h = m;
}
}
return nums[l];
}
# 4. 第一个错误的版本
278. First Bad Version (Easy)
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题目描述:给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本,在第 x 位置开始出现错误版本,导致后面的版本都错误。可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误,要求找到第一个错误的版本。
如果第 m 个版本出错,则表示第一个错误的版本在 [l, m] 之间,令 h = m;否则第一个错误的版本在 [m + 1, h] 之间,令 l = m + 1。
因为 h 的赋值表达式为 h = m,因此循环条件为 l < h。
public int firstBadVersion(int n) {
int l = 1, h = n;
while (l < h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
if (isBadVersion(mid)) {
h = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return l;
}
# 5. 旋转数组的最小数字
153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)
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Input: [3,4,5,1,2],
Output: 1
public int findMin(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] <= nums[h]) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return nums[l];
}
# 6. 查找区间
34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
Output: [3,4]
Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
Output: [-1,-1]
题目描述:给定一个有序数组 nums 和一个目标 target,要求找到 target 在 nums 中的第一个位置和最后一个位置。
可以用二分查找找出第一个位置和最后一个位置,但是寻找的方法有所不同,需要实现两个二分查找。我们将寻找 target 最后一个位置,转换成寻找 target+1 第一个位置,再往前移动一个位置。这样我们只需要实现一个二分查找代码即可。
public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
int first = findFirst(nums, target);
int last = findFirst(nums, target + 1) - 1;
if (first == nums.length || nums[first] != target) {
return new int[]{-1, -1};
} else {
return new int[]{first, Math.max(first, last)};
}
}
private int findFirst(int[] nums, int target) {
int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= target) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
在寻找第一个位置的二分查找代码中,需要注意 h 的取值为 nums.length,而不是 nums.length - 1。先看以下示例:
nums = [2,2], target = 2
如果 h 的取值为 nums.length - 1,那么 last = findFirst(nums, target + 1) - 1 = 1 - 1 = 0。这是因为 findLeft 只会返回 [0, nums.length - 1] 范围的值,对于 findFirst([2,2], 3) ,我们希望返回 3 插入 nums 中的位置,也就是数组最后一个位置再往后一个位置,即 nums.length。所以我们需要将 h 取值为 nums.length,从而使得 findFirst返回的区间更大,能够覆盖 target 大于 nums 最后一个元素的情况。